Question

$\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2-b c \\ 1 & b & b^2-a c \\ 1 & c & c^2-a b\end{array}\right|$ is equal to

(A) 0

(B) $a^8+b^8+c^8-3 a b c$

(C) $3 a b c$

(D) $(a+b+c)^2$

Answer 1

SOLUTION — $\left|\begin{array}{ccc}1 & a & a^2-b c \\ 1 & b & b^2-a c \\ 1 & c & c^2-a b\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}0 & a-b & (a-b)(a+b+c) \\ 0 & b-c & (b-c)(a+b+c) \\ 1 & c & c^2-a b\end{array}\right|$

Applying $R_1 \rightarrow R_1-R_2, R_2 \rightarrow R_2-R_3$

$=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & a+b+c\\0 & 1 & a+b+c \\1 & c & c^2-a b\end{array}\right|=0$

( $\because$ Rows $R_1$ and $R_2$ are identical)

So, The correct option is (A).