Let $(x, y)$ be such that $\sin ^{-1}(a x)+\cos ^{-1}(y)+\cos ^{-1}(b x y)=\frac{\pi}{2}$

Question

Match the column

Let $(x, y)$ be such that $\sin ^{-1}(a x)+\cos ^{-1}(y)+\cos ^{-1}(b x y)=\frac{\pi}{2}$

             Column - I                                                                                                 

(A) If $a=1$ and $b=0$, then $(x, y)$

(B) If $a=1$ and $b=1$, then $(x, y)$

(C) If $a=1$ and $b=2$, then $(x, y)$

(D) If $a=2$ and $b=2$, then $(x, y)$ 

       Column - II

(p) lies on the circle $x^2+y^2=1$

(q) lies on $\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)=0$

(r) lies on $y=x$

(s) lies on $\left(4 x^2-1\right)\left(y^2-1\right)=0$ 

 

Answer 1

Hence Match:

A $\Rightarrow \ (p)$

B$\Rightarrow \ (q)$

C$\Rightarrow \ (p)$

D$\Rightarrow \ (s)$ 

SOLUTION :  $\sin ^{-1}(a x)+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1}(b x y)=\frac{\pi}{2}$

(A) $a=1, \quad b=0 \Rightarrow \sin ^{-1}(x)+\cos ^{-1}(y)+\cos ^{-1}(0)=\frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} y=0$ $\Rightarrow \quad \cos ^{-1} y=-\sin ^{-1} x \quad \Rightarrow \quad \cos ^{-1} y=\cos ^{-1} \sqrt{1-x^2} \Rightarrow \quad x^2+y^2=1$

(B) $\sin ^{-1}(x)+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1}(x y)=\frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos ^{-1}(y)+\cos ^{-1}(x y)=\cos ^{-1} x$.

$\Rightarrow  \cos ^{-1}\left(x y^2-\sqrt{\left(1-y^2\right)\left(1-x^2 y^2\right)}\right)=\cos ^{-1} x .$ $\Rightarrow  x y^2-\sqrt{\left(1-y^2\right)\left(1-x^2 y^2\right)}=x \\$

$\Rightarrow \quad 1-x^2-y^2+x^2 y^2=0  \Rightarrow  \left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)=0$

$\begin{array}{l} \text { (C) } \sin ^{-1}(x)+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1}(2 x y)=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos ^{-1}\left(2 x y^2-\sqrt{\left(1-y^2\right)\left(1-4 x^2 y^2\right)}=\cos ^{-1} x\right. \\ \Rightarrow \quad 2 x y^2-\sqrt{\left(1-y^2\right)\left(1-4 x^2 y^2\right)}=x \quad \Rightarrow \quad 2 x y^2-x=\sqrt{\left(1-y^2\right)\left(1-4 x^2 y^2\right)} \\ \Rightarrow \quad 4 x^2 y^4+x^2-4 x^2 y^2=1-y^2-4 x^2 y^2+4 x^2 y^4 \quad \Rightarrow \quad x^2+y^2=1\end{array}$

(D) $\quad \sin ^{-1}(2 x)+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1}(2 x y)=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos ^{-1}\left(2 y^2 x-\sqrt{\left(1-y^2\right)\left(1-4 x^2 y^2\right)}\right)=\cos ^{-1}(2 x)$

$\Rightarrow \quad 2 y^2 x-\sqrt{1-y^2-4 x^2 y^2+4 x^2 y^4}=2 x . \quad \Rightarrow \quad 1-4 x^2-y^2+4 x^2 y^2=0 \\$

$\Rightarrow \quad\left(1-4 x^2\right)\left(1-y^2\right)=0$