Question

सिद्ध करें कि $(3+\sqrt{5})$ एक अपरिमेय संख्या है।

Answer 1

Solution : यदि संभव हो, तो मान लें कि $3+\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।

$\therefore \quad 3+\sqrt{5}=\frac{p}{q} \text {; }$

जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं एवं $q \neq 0$, साथ ही $p, q$ में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

$\therefore \quad \sqrt{5}=\frac{p}{q}-3=\frac{p-3 q}{q} .$

चूँकि $p$ और $q$ पूर्णांक है, $\frac{p-3 q}{q}$ एक परिमेय संख्या है।

अर्थात, $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है। किंतु, हम जानते हैं कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। अतः , हमारी मान्यता गलत है। अर्थात, $3+\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या नहीं है, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।